Chapter 7: कणों के नियम तथा घूर्णी गति

परिचय (Introduction)

• कणों के नियम (System of Particles): किसी वस्तु के कणों के समूह की गति और गतिज गुणों का अध्ययन।
• घूर्णी गति (Rotational Motion): किसी वस्तु का अपने अक्ष के चारों ओर घूमना।

कणों का केंद्रक और द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass and Centre of Gravity)

• केंद्रक (Centre of Mass): वस्तु का वह बिंदु जहाँ समस्त द्रव्यमान सांद्रित माना जा सकता है।

• द्रव्यमान केंद्र (Centre of Gravity): वह बिंदु जहां पर समस्त गुरुत्व बल कार्य करता है।

रेखीय संवेग और कोणीय संवेग (Linear Momentum and Angular Momentum)

• रेखीय संवेग (Linear Momentum): किसी वस्तु का द्रव्यमान और वेग का गुणनफल।
  • समीकरण: p = mv
  • जहां p = रेखीय संवेग, m = द्रव्यमान, v = वेग
• कोणीय संवेग (Angular Momentum): किसी वस्तु का घूर्णन गति में संवेग।
  • समीकरण: L = r × p
  • जहां L = कोणीय संवेग, r= स्थिति सदिश, p = रेखीय संवेग

बलाघूर्ण (Torque)

• बलाघूर्ण (Torque): घूर्णन गति उत्पन्न करने वाला बल।
  • समीकरण: τ = r × F
  • जहां τ = बलाघूर्ण, r = स्थिति सदिश, F = बल

कोणीय वेग और कोणीय त्वरण (Angular Velocity and Angular Acceleration)

• कोणीय वेग (Angular Velocity): घूर्णन गति की दर।
  • समीकरण: ω = dθ/dt​
  • जहां ω = कोणीय वेग, θ = कोणीय विस्थापन, t = समय
• कोणीय त्वरण (Angular Acceleration): कोणीय वेग में परिवर्तन की दर।
  • समीकरण: α = dω / dt​
  • जहां α = कोणीय त्वरण

घूर्णी गति के समीकरण (Equations of Rotational Motion)

• रेखीय गति के समानांतर:
  • v = u + at
  • s = ut + 1/2 at²
  • v² = u² + 2as
• घूर्णी गति के लिए:
  • ω = ω0 + αt
  • θ = ω0t + 1/2 αt²
  • ω² = ω²0+2αθ

जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia)

• जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia): घूर्णन गति में किसी वस्तु की जड़त्व का माप।
  • समीकरण: I = ∑ mi r²i​
  • जहां I = जड़त्व आघूर्ण, mi​ = कण का द्रव्यमान, ri = घूर्णन अक्ष से दूरी
• महत्वपूर्ण आकृतियों के जड़त्व आघूर्ण:
  • ठोस गोला: I = 2/5 MR²
  • पतला छड़: I = 1/12 ML² (मध्य से)
  • वृत्ताकार पतली प्लेट: I = 1/2 MR²

घूर्णी गतिज ऊर्जा (Rotational Kinetic Energy)

• घूर्णी गतिज ऊर्जा (Rotational Kinetic Energy): घूर्णन गति में वस्तु की गतिज ऊर्जा।
  • समीकरण: K.E.r = 1/2 Iω²
  • जहां K.E.r = घूर्णी गतिज ऊर्जा, I = जड़त्व आघूर्ण, ω = कोणीय वेग

कार्य-बलाघूर्ण प्रमेय (Work-Energy Theorem for Rotational Motion)

• कार्य-बलाघूर्ण प्रमेय (Work-Energy Theorem for Rotational Motion): घूर्णी गति में कार्य बलाघूर्ण के द्वारा होता है और यह गतिज ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर होता है।
  • समीकरण: W = ΔK.E.r = 1/2 Iω²f − 1/2 Iω²i​
  • जहां W = कार्य, ωf = अंतिम कोणीय वेग, ωi​ = प्रारंभिक कोणीय वेग

कोणीय संवेग संरक्षण का नियम (Law of Conservation of Angular Momentum)

• कोणीय संवेग संरक्षण का नियम (Law of Conservation of Angular Momentum): यदि किसी वस्तु पर कोई बाह्य बलाघूर्ण कार्य नहीं करता है, तो उसका कुल कोणीय संवेग नियत रहता है।
  • समीकरण: L initial = L final​

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions)

1. केंद्रक (Centre of Mass): वस्तु का वह बिंदु जहाँ समस्त द्रव्यमान सांद्रित माना जा सकता है।
2. रेखीय संवेग (Linear Momentum): किसी वस्तु का द्रव्यमान और वेग का गुणनफल।
3. कोणीय संवेग (Angular Momentum): किसी वस्तु का घूर्णन गति में संवेग।
4. बलाघूर्ण (Torque): घूर्णन गति उत्पन्न करने वाला बल।
5. कोणीय वेग (Angular Velocity): घूर्णन गति की दर।
6. जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia): घूर्णन गति में किसी वस्तु की जड़त्व का माप।
7. घूर्णी गतिज ऊर्जा (Rotational Kinetic Energy): घूर्णन गति में वस्तु की गतिज ऊर्जा।
8. कोणीय संवेग संरक्षण का नियम (Law of Conservation of Angular Momentum): किसी वस्तु का कुल कोणीय संवेग बाह्य बलाघूर्ण न होने पर नियत रहता है।